Integral

by AsDDzulkifli February 14, 2014 Post a Comment

Integral

Integral

Integral

Sebuah integral tertentu dari sebuah fungsi dapat digambarkan sebagai area yang dibatasi oleh kurva fungsinya.

Integral adalah sebuah konsep penjumlahan secara berkesinambungan dalam matematika, dan bersama dengan inversnya, diferensiasi, adalah satu dari dua operasi utama dalam kalkulus. Integral dikembangkan menyusul dikembangkannya masalah dalam diferensiasi di mana matematikawan harus berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi. Lambang integral adalah {\displaystyle \int \,}

Bila diberikan suatu fungsi f dari variabel real x dengan interval [a, b] dari sebuah garis lurus, maka integral tertentu
{\displaystyle \int _{a}^{b}\!f(x)\,dx\,}

didefinisikan sebagai area yang dibatasi oleh kurva f, sumbu-x, sumbu-y dan garis vertikal x = a dan x = b, dengan area yang berada di atas sumbu-x bernilai positif dan area di bawah sumbu-x bernilai negatif.

Kata integral juga dapat digunakan untuk merujuk pada antiturunan, sebuah fungsi F yang turunannya adalah fungsi f. Pada kasus ini, maka disebut sebagai integral tak tentu dan notasinya ditulis sebagai:
{\displaystyle F=\int f(x)\,dx.}

Prinsip-prinsip dan teknik integrasi dikembangkan terpisah oleh Isaac Newton dan Gottfried Leibniz pada akhir abad ke-17. Melalui teorema fundamental kalkulus yang mereka kembangkan masing-masing, integral terhubung dengan diferensial: jika f adalah fungsi kontinu yang terdefinisi pada sebuah interval tertutup [a, b], maka, jika antiturunan F dari f diketahui, maka integral tertentu dari f pada interval tersebut dapat didefinisikan sebagai:
{\displaystyle \int _{a}^{b}\!f(x)\,dx=F(b)-F(a)\,}

Integral dan diferensial menjadi peranan penting dalam kalkulus, dengan berbagai macam aplikasi pada sains dan teknik.

Definisi formal
Ada beberapa cara untuk mendefinisikan integral.

Integral Riemann
Integral Riemann adalah konsep integral yang dasar. Definisi itu mudah dan berguna khususnya untuk fungsi-fungsi yang kontinu atau kontinu 'titik demi titik'.

Integral Lebesgue
Integral Lebesgue merupakan suatu perumuman dari integral Riemann.

Mencari nilai integral
Substitusi

Contoh soal:

Cari nilai dari:{\displaystyle \int {\frac {lnx}{x}}\,dx\,}

{\displaystyle t=\ln x,dt={\frac {dx}{x}}}

{\displaystyle \int {\frac {lnx}{x}}\,dx\,=\int t\,dt}

{\displaystyle ={\frac {1}{2}}t^{2}+C}

{\displaystyle ={\frac {1}{2}}ln^{2}x+C}

Integrasi parsial
Integral parsial menggunakan rumus sebagai berikut: Cara 1

{\displaystyle \int f'(x)g(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f(x)g'(x)\,dx}

Contoh soal:

Cari nilai dari: {\displaystyle \int \ln x\,dx\,}

{\displaystyle f'(x)=1,f(x)=x,g(x)=lnx,g'(x)={\frac {1}{x}}\,}

Gunakan rumus di atas

{\displaystyle \int \ln x\ dx=xlnx-\int x{\frac {1}{x}}\,dx\,}

{\displaystyle =xlnx-\int 1\,dx\,}

{\displaystyle =xlnx-x+C\,}

Cara 2

Tabel

Turunan

Integral

+

{\displaystyle g(x)}

{\displaystyle \int f'(x)dx}

-

{\displaystyle g'(x)}

{\displaystyle f(x)}

+

{\displaystyle g''(x)}

{\displaystyle \int f'(x)g(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f(x)g'(x)\,dx}

Contoh soal:

Cari nilai dari: {\displaystyle \int \ln x\,dx\,}

Tabel

Turunan

Integral

+

{\displaystyle lnx}

{\displaystyle \int 1dx}

-

{\displaystyle {\frac {1}{x}}}

{\displaystyle x}

+

{\displaystyle -{\frac {1}{x^{2}}}}

{\displaystyle {\frac {1}{2}}x^{2}}

Gunakan rumus di atas

{\displaystyle \int \ln x\ dx=xlnx-{\frac {1}{x}}{\frac {1}{2}}x^{2}+C\,}

(?)

{\displaystyle =xlnx-{\frac {1}{2}}x+C\,}

(?)

Substitusi trigonometri

Bentuk

Gunakan

{\displaystyle {\sqrt {a^{2}-b^{2}x^{2}}}\,}

{\displaystyle x={\frac {a}{b}}\sin \alpha \,}

{\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}x^{2}}}\,}

{\displaystyle \!\,x={\frac {a}{b}}\tan \alpha \,}

{\displaystyle {\sqrt {b^{2}x^{2}-a^{2}}}\,}

{\displaystyle \,x={\frac {a}{b}}\sec \alpha \,}

Contoh soal:

Cari nilai dari: {\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{2}{\sqrt {x^{2}+4}}}}\,}

{\displaystyle x=2\tan A,dx=2\sec ^{2}A\,dA\,}

{\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{2}{\sqrt {x^{2}+4}}}}\,}

{\displaystyle =\int {\frac {2sec^{2}A\,dA}{(2tanA)^{2}{\sqrt {4+(2tanA)^{2}}}}}\,}

{\displaystyle =\int {\frac {2sec^{2}A\,dA}{4tan^{2}A{\sqrt {4+4tan^{2}A}}}}\,}

{\displaystyle =\int {\frac {2sec^{2}A\,dA}{4tan^{2}A{\sqrt {4(1+tan^{2}A)}}}}\,}

{\displaystyle =\int {\frac {2sec^{2}A\,dA}{4tan^{2}A{\sqrt {4sec^{2}A}}}}\,}

{\displaystyle =\int {\frac {2sec^{2}A\,dA}{4tan^{2}A.2secA}}\,}

{\displaystyle =\int {\frac {secA\,dA}{4tan^{2}A}}\,}

{\displaystyle ={\frac {1}{4}}\int {\frac {secA\,dA}{tan^{2}A}}\,}

{\displaystyle ={\frac {1}{4}}\int {\frac {cosA}{sin^{2}A}}\,dA\,}

Cari nilai dari: {\displaystyle \int {\frac {cosA}{sin^{2}A}}\,dA\,}

dengan menggunakan substitusi

{\displaystyle t=sinA,dt=cosA\,dA\,}

{\displaystyle \int {\frac {cosA}{sin^{2}A}}\,dA\,}

{\displaystyle =\int {\frac {dt}{t^{2}}}\,}

{\displaystyle =\int t^{-2}\,dt\,}

{\displaystyle =-t^{-1}+C=-{\frac {1}{sinA}}+C\,}

Masukkan nilai tersebut:

{\displaystyle ={\frac {1}{4}}\int {\frac {cosA}{sin^{2}A}}\,dA\,}

{\displaystyle ={\frac {1}{4}}.-{\frac {1}{sinA}}+C\,}

{\displaystyle =-{\frac {1}{4sinA}}+C\,}

Nilai sin A adalah {\displaystyle {\frac {x}{\sqrt {x^{2}+4}}}}

{\displaystyle =-{\frac {1}{4sinA}}+C\,}

{\displaystyle =-{\frac {\sqrt {x^{2}+4}}{4x}}+C\,}

Integrasi pecahan parsial

Contoh soal:

Cari nilai dari: {\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{2}-4}}\,}

{\displaystyle {\frac {1}{x^{2}-4}}={\frac {A}{x+2}}+{\frac {B}{x-2}}\,}

{\displaystyle ={\frac {A(x-2)+B(x+2)}{x^{2}-4}}\,}

{\displaystyle ={\frac {Ax-2A+Bx+2B}{x^{2}-4}}\,}

{\displaystyle ={\frac {(A+B)x-2(A-B)}{x^{2}-4}}\,}

Akan diperoleh dua persamaan yaitu {\displaystyle A+B=0\,}

dan {\displaystyle A-B=-{\frac {1}{2}}}

Dengan menyelesaikan kedua persamaan akan diperoleh hasil {\displaystyle A=-{\frac {1}{4}},B={\frac {1}{4}}\,}

{\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{2}-4}}\,}

{\displaystyle ={\frac {1}{4}}\int ({\frac {1}{x-2}}-{\frac {1}{x+2}})\,dx\,}

{\displaystyle ={\frac {1}{4}}(ln|x-2|-ln|x+2|)+C\,}

{\displaystyle ={\frac {1}{4}}ln|{\frac {x-2}{x+2}}|+C\,}

Rumus integrasi dasar
Umum

{\displaystyle \int x^{n}dx={\frac {1}{n+1}}x^{n+1}+C\,}

; n ≠ -1
Eksponen dan bilangan natural

{\displaystyle \int e^{x}dx=e^{x}+C\,}

{\displaystyle \int a^{x}dx={\frac {a^{x}}{lna}}+C\,}

; a ≠ 1 dan a > 0
Logaritma dan bilangan natural

{\displaystyle \int {\frac {1}{x}}dx=lnx+C}

{\displaystyle \int lnx\,dx=xlnx-x+C=xln\left({\frac {x}{e}}\right)+C}

{\displaystyle \int \log _{a}(x)\,dx=x\log _{a}(x)-{\frac {x}{\ln(a)}}+C=x\log _{a}\left({\frac {x}{e}}\right)+C}

Trigonometri

{\displaystyle \int \sin x\,dx=-\cos x+C\,}

{\displaystyle \int \cos x\,dx=\sin x+C\,}

{\displaystyle \int \tan x\,dx=\ln |\sec x|+C\,}

{\displaystyle \int \cot x\,dx=-\ln |\csc x|+C\,}

{\displaystyle \int \sec x\,dx=\ln |\sec x+\tan x|+C\,}

{\displaystyle \int \csc x\,dx=-\ln |\csc x+\cot x|+C\,}

{\displaystyle \int \sin ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}(x-\sin x\cos x)+C\,}

{\displaystyle \int \cos ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}(x+\sin x\cos x)+C\,}

{\displaystyle \int \tan ^{2}x\,dx=\tan x-x+C\,}

{\displaystyle \int \cot ^{2}x\,dx=-\cot x-x+C\,}

{\displaystyle \int \sec ^{2}x\,dx=\tan x+C\,}

{\displaystyle \int \csc ^{2}x\,dx=-\cot x+C\,}

{\displaystyle \int \sec x\tan x\,dx=\sec x+C\,}

{\displaystyle \int \csc x\cot x\,dx=-\csc x+C\,}

Invers

{\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,dx=\arcsin x+C\,}

{\displaystyle \int {\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx=\arctan x+C\,}

{\displaystyle \int {\frac {1}{x{\sqrt {x^{2}-1}}}}\,dx=\operatorname {arcsec} x+C\,}

Hiperbolik

{\displaystyle \int \sinh x\,dx=\cosh x+C\,}

{\displaystyle \int \cosh x\,dx=\sinh x+C\,}

Panjang busur
Sumbu x
{\displaystyle S=\int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {1+(f'(x))^{2}}}dx}

Sumbu y

{\displaystyle S=\int _{y_{1}}^{y_{2}}{\sqrt {1+(f'(y))^{2}}}dy}

Luas daerah
Satu kurva
Sumbu x

{\displaystyle L=\int _{x_{1}}^{x_{2}}f(x)dx}

Sumbu y

{\displaystyle L=\int _{y_{1}}^{y_{2}}f(y)dy}

Dua kurva
Sumbu x
{\displaystyle L=\int _{x_{1}}^{x_{2}}(f(x_{2})-f(x_{1}))dx}

Sumbu y

{\displaystyle L=\int _{y_{1}}^{y_{2}}(f(y_{2})-f(y_{1}))dy}

atau juga {\displaystyle L={\frac {D{\sqrt {D}}}{6a^{2}}}}

Luas permukaan benda putar
Sumbu x
{\displaystyle L=2\pi \int _{x_{1}}^{x_{2}}f(x)ds}

dimana {\displaystyle ds={\sqrt {1+(f'(x))^{2}}}dx}

Sumbu y

{\displaystyle L=2\pi \int _{y_{1}}^{y_{2}}f(y)ds}

dimana {\displaystyle ds={\sqrt {1+(f'(y)))^{2}}}dy}

Volume benda putar
Satu kurva
Sumbu x
{\displaystyle V=\pi \int _{x_{1}}^{x_{2}}(f(x))^{2}dx}

Sumbu y
{\displaystyle V=\pi \int _{y_{1}}^{y_{2}}(f(y))^{2}dy}

Dua kurva
Sumbu x

{\displaystyle V=\pi \int _{x_{1}}^{x_{2}}((f(x_{2}))^{2}-(f(x_{1}))^{2})dx}

Sumbu y

{\displaystyle V=\pi \int _{y_{1}}^{y_{2}}((f(y_{2}))^{2}-(f(y_{1}))^{2})dy}

Contoh
Tentukan luas (tak tentu) dengan persamaan garis {\displaystyle y=x}

dan batas-batas sumbu y dengan rumus integral!

{\displaystyle L=\int xdx}

{\displaystyle L={\frac {1}{2}}x^{2}}

karena {\displaystyle y=x}

{\displaystyle L={\frac {1}{2}}xy}

Tentukan luas (tak tentu) dengan persamaan garis {\displaystyle y=x^{2}}

dan batas-batas sumbu y dengan rumus integral!

{\displaystyle L=\int x^{2}dx}

{\displaystyle L={\frac {1}{3}}x^{3}}

karena {\displaystyle y=x^{2}}

{\displaystyle L={\frac {1}{3}}xy}

Tentukan luas (tak tentu) dengan persamaan garis {\displaystyle y={\sqrt {x}}}

dan batas-batas sumbu y dengan rumus integral!

{\displaystyle L=\int {\sqrt {x}}dx}

{\displaystyle L={\frac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}}

karena {\displaystyle y={\sqrt {x}}}

{\displaystyle L={\frac {2}{3}}xy}

Buktikan luas persegi panjang {\displaystyle L=pl}

dengan rumus integral!

Dengan posisi {\displaystyle y=p}

dan titik (l,p)

{\displaystyle L=\int _{0}^{l}pdx}

{\displaystyle L=[px]_{0}^{l}}

{\displaystyle L=pl-0}

{\displaystyle L=pl}

Buktikan luas segitiga {\displaystyle L={\frac {at}{2}}}

dengan rumus integral!

Dengan posisi {\displaystyle y={\frac {ax}{t}}}

dan titik (t,a)

{\displaystyle L=\int _{0}^{t}{\frac {ax}{t}}dx}

{\displaystyle L=[{\frac {ax^{2}}{2t}}]_{0}^{t}}

{\displaystyle L={\frac {at^{2}}{2t}}-0}

{\displaystyle L={\frac {at}{2}}}

Buktikan volume tabung {\displaystyle V=\pi r^{2}t}

dengan rumus integral!

Dengan posisi {\displaystyle y=r}

dan titik (t,r)

{\displaystyle V=\pi \int _{0}^{t}(r)^{2}dx}

{\displaystyle V=\pi [r^{2}x]_{0}^{t}}

{\displaystyle V=\pi (r^{2}t-0)}

{\displaystyle V=\pi r^{2}t}

Buktikan volume kerucut {\displaystyle V={\frac {\pi r^{2}t}{3}}}

dengan rumus integral!

Dengan posisi {\displaystyle y={\frac {rx}{t}}}

dan titik (t,r)

{\displaystyle V=\pi \int _{0}^{t}({\frac {rx}{t}})^{2}dx}

{\displaystyle V=\pi [{\frac {r^{2}x^{3}}{3t^{2}}}]_{0}^{t}}

{\displaystyle V=\pi ({\frac {r^{2}t^{3}}{3t^{2}}}-0)}

{\displaystyle V={\frac {\pi r^{2}t}{3}}}

Buktikan volume bola {\displaystyle V={\frac {4\pi r^{3}}{3}}}

dengan rumus integral!

Dengan posisi {\displaystyle y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}

dan titik (-r,0) serta (r,0)

{\displaystyle V=\pi \int _{-r}^{r}({\sqrt {r^{2}-x^{2}}})^{2}dx}

{\displaystyle V=\pi \int _{-r}^{r}r^{2}-x^{2}dx}

{\displaystyle V=\pi [r^{2}x-{\frac {x^{3}}{3}}]_{-r}^{r}}

{\displaystyle V=\pi (r^{3}-{\frac {r^{3}}{3}}-(-r^{3}+{\frac {r^{3}}{3}}))}

{\displaystyle V={\frac {4\pi r^{3}}{3}}}

Buktikan keliling lingkaran {\displaystyle K=2\pi r}

dengan rumus integral!

Dengan posisi {\displaystyle y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}

dan titik (-r,0) serta (r,0)

Dibuat turunan terlebih dahulu

{\displaystyle y'={\frac {-x}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}}

{\displaystyle K=4\int _{0}^{r}{\sqrt {1+({\frac {-x}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}})^{2}}}dx}

{\displaystyle K=4\int _{0}^{r}{\sqrt {1+({\frac {x^{2}}{r^{2}-x^{2}}})}}dx}

{\displaystyle K=4\int _{0}^{r}{\sqrt {\frac {r^{2}}{r^{2}-x^{2}}}}dx}

{\displaystyle K=4r\int _{0}^{r}{\sqrt {\frac {1}{r^{2}-x^{2}}}}dx}

{\displaystyle K=4r\int _{0}^{r}{\frac {1}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}dx}

{\displaystyle K=4r[arcsin{\frac {x}{r}}]_{0}^{r}}

{\displaystyle K=4r(arcsin{\frac {r}{r}}-arcsin{\frac {0}{r}})}

{\displaystyle K=4r(arcsin1-arcsin0)}

{\displaystyle K=4r({\frac {\pi }{2}})}

{\displaystyle K=2\pi r}

Buktikan luas lingkaran {\displaystyle L=\pi r^{2}}

dengan rumus integral!

Dengan posisi {\displaystyle y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}

dan titik (-r,0) serta (r,0)

Dibuat trigonometri serta turunannya terlebih dahulu

{\displaystyle sin\theta ={\frac {x}{r}}}

{\displaystyle x=rsin\theta }

{\displaystyle dx=rcos\theta d\theta }

{\displaystyle L=4\int _{0}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}dx}

{\displaystyle L=4\int _{0}^{r}{\sqrt {r^{2}-(rsin\theta )^{2}}}dx}

{\displaystyle L=4\int _{0}^{r}{\sqrt {r^{2}-r^{2}sin^{2}\theta }}dx}

{\displaystyle L=4\int _{0}^{r}{\sqrt {r^{2}(1-sin^{2}\theta )}}dx}

{\displaystyle L=4\int _{0}^{r}rcos\theta dx}

{\displaystyle L=4\int _{0}^{r}rcos\theta (rcos\theta d\theta )}

{\displaystyle L=4\int _{0}^{r}r^{2}cos^{2}\theta d\theta }

{\displaystyle L=4r^{2}\int _{0}^{r}({\frac {1+cos2\theta }{2}})d\theta }

{\displaystyle L=2r^{2}\int _{0}^{r}(1+cos2\theta )d\theta }

{\displaystyle L=2r^{2}[\theta +{\frac {1}{2}}sin2\theta ]_{0}^{r}}

{\displaystyle L=2r^{2}[\theta +sin\theta cos\theta ]_{0}^{r}}

{\displaystyle L=2r^{2}[arcsin{\frac {x}{r}}+{\frac {x}{r}}{\frac {r^{2}-x^{2}}{r}}]_{0}^{r}}

{\displaystyle L=2r^{2}(arcsin{\frac {r}{r}}+{\frac {r}{r}}{\frac {r^{2}-r^{2}}{r}}-(arcsin{\frac {0}{r}}+{\frac {0}{r}}{\frac {r^{2}-0^{2}}{r}}))}

{\displaystyle L=2r^{2}(arcsin1+0-(arcsin0+0))}

{\displaystyle L=2r^{2}({\frac {\pi }{2}})}

{\displaystyle L=\pi r^{2}}

Buktikan luas elips {\displaystyle L=\pi ab}

dengan rumus integral!

Dengan posisi {\displaystyle y={\frac {b{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}{a}}}

dan titik (-a,0) serta (a,0)

{\displaystyle L=4\int _{0}^{r}{\frac {b{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}{a}}dx}

{\displaystyle L={\frac {4b}{a}}\int _{0}^{a}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}dx}

anggapan bahwa lingkaran mempunyai jari-jari di titik (-a,0) dan (a,0) setitik dengan elips maka

{\displaystyle {\frac {L_{elips}}{L_{ling}}}={\frac {{\frac {4b}{a}}\int _{0}^{a}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}dx}{4\int _{0}^{a}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}dx}}}